מגפת הקורונה גרמה לכך שאנו שומעים בחדשות שוב ושוב את צמד המילים גידול אקספוננציאלי, או מעריכי. הסיבה שכל כך קשה להשתלט על מגפה היא הגידול האקספוננציאלי: ככל שיש יותר נדבקים כך הם מדביקים יותר אנשים וכמות החולים גדלה במהירות מבהילה. לכן מסבירים לנו שחייבים לשטח את העקומה ולשמור על מקדם ההדבקה R נמוך. אם R גדול מ-1, כלומר אם כל אדם שנדבק מדביק יותר מאדם אחד, קצב ההדבקה יגדל באופן מעריכי (אקספוננציאלי) ויש סכנה שהמגפה תצא מכלל שליטה.
מהו גידול מעריכי (אקספוננציאלי)?
בגידול מעריכי התוספת של הדבר שגדל גדלה ככל שיש ממנו יותר. קל להבין זאת באופן אינטואיטיבי. למשל, ככל שהאוכלוסיה גדלה כך נולדים יותר תינוקות. כשהתינוקות יהפכו למבוגרים יהיו הרבה יותר זוגות שיביאו ילדים לעולם. אם כל זוג יביא לעולם יותר משני ילדים, האוכלוסיה תגדל ויהיו עוד יותר זוגות שיביאו ילדים לעולם, וכך הלאה. מה שקשה להבין באופן אינטואיטיבי הוא את העוצמה של גידול מסוג זה. אם אומרים לנו למשל שהאוכלוסיה גדלה בקצב של 3.5% לשנה – זה אולי לא נשמע הרבה, אבל פירוש הדבר הוא שהאוכלוסיה מכפילה את עצמה כל 20 שנה.
הדבר המיוחד בגידול מעריכי הוא שכל הדרמה מתרחשת רק לקראת הסוף.
בהתחלה המספרים המוכפלים קטנים. לכן גם כאשר מתרחשת הכפלה בקושי מבחינים שמשהו קורה ואז, לאחר כמה הכפלות בבת אחת, קורה המון.
למשל אם התחלנו מ-100 אנשים והאוכלוסיה מכפילה את עצמה כל 20 שנה. כעבור 100 שנה האוכלוסייה תמנה רק 3200 אנשים, כעבור עוד 100 שנה האוכלוסיה כבר תמנה כ-100,000 תושבים. נסו לנחש מה יהיה גודל האוכלוסייה כעבור 300 שנה וכעבור 500 שנה? אל תציצו בתשובה – תנחשו!
לא מסובך לחשב, אבל קשה לנחש, כי אין לנו אינטואיציה לגבי מספרים הגדלים באופן מעריכי.
כעבור 300 שנה האוכלוסיה תמנה 3 מיליון ומאתים אלף.
וכעבור 500 שנה יותר מ-3.3 מיליארד
וכעבור 700 שנה? יותר מ-3.4 טריליון. ליתר דיוק: 3,435,973,836,800 תושבים .
ברור שבמציאות זה לא יקרה, כי העולם לא יכול לכלכל כל כך הרבה אנשים. שום יצור חי אינו יכול להתרבות באופן מעריכי לנצח. במוקדם או במאוחר יגיע גורם מגביל, צוואר בקבוק – למשל מגפות או רעב – ויעצור את הגידול. לכן עקומות גידול של אוכלוסיות בטבע אינן נראות כמו העקומה משמאל (המכונה עקומת מקל הוקי) אלא כמו העקומה מימין (הנקראת עקומת S).
CNX OpenStax / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/4.0)
הרבה דברים סביבנו גדלים בקצב מעריכי: אנחנו חיים בתקופה של האצה. ולמרות שכולנו מבחינים שהעולם משתנה במהירות, כמעט בלתי אפשרי לקלוט את עוצמת השינוי.
עוצמת האקספוננט
המחשה טובה לעוצמת האקספוננט היא משל האצטדיון.
דמיינו שאתם כבולים באזיקים למושב בשורה העליונה של היציע באצטדיון בלומפילד. דמיינו גם שבשיפוץ שנעשה לאחרונה הפכו את האצטדיון כולו לאטום למים. קוסם רשע מטפטף בדיוק בשעה 8 בבוקר טיפת מים קסומה על קרקעית האצטדיון והטיפה הקסומה מכפילה את נפחה כל דקה. כעבור 5 דקות יש כבר כתם מים בגודל של מטבע. כעבור 10 דקות נוצרה כבר שלולית, אך היא כה קטנה שאינכם יכולים להבחין בה ממקומכם ביציע.
עכשיו עצרו רגע וחשבו, כמה זמן יחלוף עד שהאצטדיון יתמלא? שעות? ימים? שבועות?
השלולית הקטנה ממשיכה להכפיל את נפחה כל דקה וכעבור 45 דקות המים כבר מגיעים לשולי הספסלים בשורה הראשונה. האצטדיון עדיין 93% ריק ממים אבל אתם במושב ביציע העליון מתחילים לשים לב שהמים עולים ואתם מתחילים להבין שייתכן שאתם בסכנה. כמה זמן נותר לכם כדי להשתחרר לפני שתטבעו?
התשובה המפתיעה היא כ-5 דקות.
כאמור נפח המים מוכפל כל דקה. האצטדיון התמלא כולו במים בשעה 8:50. דקה קודם בשעה 8:49 הוא היה רק חצי מלא.
דקה לפני כן בשעה 8:48 רבע מלא, ב-8:47 שמינית מלא, ב-8:46 1/16 מלא, ובשעה 8:45 1/32 מלא, כלומר בערך 93% ריק…
מהרגע שהבנתם שאתם בבעיה ועד הרגע שהמים כיסו את ראשכם עברו בסך הכל 5 דקות.
זו הבעיה עם גידול אקספוננציאלי – הוא מקשה עלינו להבחין מתי יש בעיה, ושחייבים לפעול מיד. בדוגמאות רבות – מהקורונה ועד משבר האקלים – מבזבזים זמן יקר על ויכוחים האם הבעייה קיימת בכלל.
גידול אקספוננציאלי ומגפת הקורונה
חסרה לנו אינטואיציה לגבי גורמים המשתנים באופן אקספוננציאלי. אנחנו רואים זאת עכשיו במגפה. לרבים קשה לקלוט מדוע כל כך חשוב לחבוש מסכות ולשמור ריחוק פיזי. נדמה להם שאין הרבה חולים והמצב אינו חמור. אבל האמצעים הפשוטים הללו – מסכה, הריחוק הפיזי ושמירת הגיינה, מאיטים את הגידול האקספוננציאלי של הוירוס, את קצב ההכפלות של הנדבקים. קשה להבחין שיש בעיה כשמספר החולים אינו גדול, אבל כשהגידול הינו אקספוננציאלי מספר קטן יכול להפוך במהירות מבהילה למספר עצום.
תקופת ההאצה הגדולה
משל האצטדיון הוא משל חשוב להבנה של האתגרים של תקופתנו: כי אנו חיים בתקופת ההאצה הגדולה. מאז שנות החמישים של המאה ה-20 הרבה מאד היבטים של חיינו גדלים בקצב אקספוננציאלי: השימוש באנרגיה, מספר המכוניות, מספר הטיסות, כמות הבגדים המיוצרים, מספר המחשבים ועוד ועוד. העליה האקספוננציאלית בצריכה גורמת למערכות כדור הארץ להשתנות בצורה אקספוננציאלית: ריכוז גזי החממה באטמוספרה, החמצת האוקיינוסים, זיהום הפלסטיק בים ועוד ועוד.
By Bryanmackinnon – Own work, CC BY-SA 4.0
By Bryanmackinnon – Own work, CC BY-SA 4.0
כמעט כל המשתנים גדלים באופן מעריכי חוץ מאותם משתנים שכבר נתקלו בצוואר בקבוק. דוגמה לאחרונים היא כמות הדגים שנדוגו בכל שנה: כמות הדייג המסחרי התייצבה ואף קטנה, למרות כל השכלולים הטכנולוגיים של שיטות הדיג, מכיוון שכמות הדגים באוקיינוסים הולכת וקטנה, וזה קורה כי האנושות דגה אותם בקצב שעלה על קצב התרבותם.
תרבות הצריכה היא הבעיה
כל עוד הכלכלה שלנו מבוססת על תרבות הצריכה ומכוונת לכך שנקנה ונצרוך עוד ועוד מוצרים אנחנו בבעיה. על פי הפרדיגמה הכלכלית המקובלת, התמ"ג חייב לצמוח משנה לשנה. אך צמיחה של 2% בלבד לשנה (צמיחה כלכלית שנחשבת לא מספקת) פירושה שהכלכלה העולמית מכפילה את עצמה כל 35 שנה ובהתאם מגבירה את הלחצים שלנו על הפלנטה והחיים בה.
ההבנה של העוצמה של הגידול המעריכי יכולה להפיל את האסימון שהפרדיגמה הכלכלית השלטת סותרת את המציאות של חיים בפלנטה בגודל סופי. משבר האקלים הוא רק דוגמה אחת בלבד לתוצאות הרות האסון של ההתעלמות מכך.
האם תיתכן שיטה כלכלית שתגביר את הרווחה של בני האדם ותשמור על בריאות הפלנטה? אתם יכולים לקרוא על 'כלכלת הדונאט' של קייט ראוורת' כאן.
להרחבה:
המחשה של משל האצטדיון מ-'הקורס בהתרסקות' (3:40 דקות, בעברית)
סרטון של Ted-Ed המדגים גידול מעריכי דרך קיפול נייר (3:48 דקות, באנגלית עם כתוביות בעברית וערבית)
סרטון המדגים את העוצמה המתגברת של גידול מעריכי באמצעות קוביות דומינו (2:33 דקות, באנגלית בלי כתוביות)
סרטון של רשת PBS האמריקאית המסביר את הקושי לתפוס גידול מעריכי בהתמודדות עם נגיף הקורונה (8:20 דקות, באנגלית עם כתוביות בעברית וערבית)
הרצאה קצרה ובהירה של דיוויד סוזוקי על גידול מעריכי (3:06, באנגלית בלי תרגום)
סרטון הקושר את 'השטחת העקומה' של גידול מעריכי בהקשר של נגיף הקורונה להתמודדות עם משברים אקולוגיים (7:07, באנגלית בלי תרגום)
מאמר קצר באנגלית של דונלה מדוז על העוצמה של שינוי מעריכי.
